Core · 꼭짓점
꼭짓점에서 극값이 결정된다
a > 0
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꼭짓점에서 최솟값, 최댓값 없음.
a < 0
위로 볼록
꼭짓점에서 최댓값, 최솟값 없음.
일반형 $y=ax^2+bx+c$ 는 완전제곱식 변환으로 표준형 $y=a(x-p)^2+q$ 로 고치면 꼭짓점 $(p,q)$, 극값 $q$ 를 바로 읽는다. 지름길: $p=-\dfrac b{2a},\ q=c-\dfrac{b^2}{4a}$.
Core · 제한 범위
꼭짓점이 범위 안에 있는가?
$\alpha\le x\le\beta$ 처럼 범위가 제한되면, 후보는 두 끝점의 함숫값과 (꼭짓점이 범위 안일 때) 꼭짓점의 값이다. 이 후보들을 비교해 최대·최소를 정한다.
꼭짓점이 범위 밖이면 함수는 그 구간에서 단조(증가 또는 감소)이므로 양 끝점만 비교하면 된다.
Interactive · 실험실
최대·최소 실험실
계수를 끌어 포물선을 바꾸고, 구간 제한을 켜서 끝점 $\alpha,\beta$ 를 움직여 보세요. 후보(꼭짓점·끝점)와 최대·최소가 즉시 계산됩니다.
y = a x² + b x + c
Examples · 예제
예제
예제 1 · 전체 범위
$y=x^2-6x+7$ 의 최솟값을 구하여라.
- $y=(x-3)^2-2$ → 꼭짓점 $(3,-2)$
- $a=1>0$ → 최솟값 $-2$ (최댓값 없음)
예제 2 · 제한 범위
$y=x^2-4x+5\ (0\le x\le3)$ 의 최댓값·최솟값을 구하여라.
- $y=(x-2)^2+1$, 꼭짓점 $(2,1)$ 은 범위 안
- 후보 $f(0)=5,\ f(2)=1,\ f(3)=2$
- 최댓값 $5\ (x=0)$, 최솟값 $1\ (x=2)$
Quick Check · 즉문즉답
즉시 점검
Q1. $y=x^2-6x+7$ 의 최솟값은?
Q2. $y=-2(x-1)^2+5$ 의 최댓값은?
Q3. $y=x^2-4x+5\ (0\le x\le3)$ 의 최댓값은?
Practice · 연습
연습 & 무한 연습
01★
$y=2(x-3)^2-1$ 의 최솟값을 구하여라.
02★
$y=x^2+4x+1$ 의 최솟값을 구하여라.
03★★
$y=x^2-4x+5\ (0\le x\le3)$ 의 최댓값을 구하여라.
04★★
$y=-x^2+2x+3\ (-1\le x\le2)$ 의 최댓값을 구하여라. (꼭짓점 $x=1$)
무한 연습 — 표준형 극값
표준형 이차함수의 최댓값 또는 최솟값을 구하세요.
꼭짓점에서 결정된다
제한 없으면 꼭짓점이 곧 극값.
제한되면 꼭짓점이 범위 안인지 보고 양 끝점과 비교.
"The vertex decides — unless the interval says otherwise."